2.2. Расчёт круговых и переходных кривых.

Радиус кривой выбирают при проектировании дороги, руководствуясь конкретными техническими условиями. Главными точками кривой, определяющими её положение на местности, являются вершина угла ВУ, начало кривой НК, середина кривой СК и конец кривой КК рис. 2.3.

Рис. 2.3. - Схема круговой кривой.

Основные элементы кривой – её радиус R и угол поворота a. К основным элементам относятся также:

– тангенс кривой Т (или касательная) - отрезок прямой между вершиной угла и началом или концом кривой;

– кривая  К - длина кривой от начала кривой до её конца;

– биссектриса кривой  Б - отрезок от вершины угла до середины кривой;

– домер  Д - разность между длиной двух тангенсов и кривой.

Во время изысканий угол a измеряют, а радиус R назначают. Остальные элементы вычисляют по формулам, вытекающим из прямоугольного треугольника с вершинами ВУ, НК, О (центр окружности):

Т = R·tg(a/2); 

К = R·a = π R a°/180°;

Б = R [sec(a/2) - 1],                                                          (2.1.)

где a° - угол поворота в градусах.

Домер вычисляют по формуле

Д =2Т - К                                                     (2.2.)

Вместо вычислений по формулам можно воспользоваться таблицами для разбивки кривых на железных дорогах, где по заданным радиусу и углу поворота сразу находят значения Т, К, Б и Д.

В месте поворота трассы пикетаж ведётся по кривой. Пикетажное положение главных точек кривой определяют по формулам:

ПК НК = ПК ВУ - Т;

ПК КК = ПК НК + К;

ПК СК = ПК НК + К/2.                                    (2.3.)

Правильность вычислений контролируют по формулам:

ПК КК = ПК ВУ + Т - Д;

ПК СК = ПК ВУ + Д/2.                                     (2.4.)

Непосредственное сопряжение прямого участка пути с круговой кривой приводит к тому, что во время движения поезда в месте сопряжения внезапно возникает центробежная сила F, прямо пропорциональная квадрату скорости движения v и обратно пропорциональная радиусу кривой

Чтобы обеспечить постепенное нарастание центробежной силы, между прямой и круговой кривой вставляют переходную кривую, радиус кривизны r которой плавно изменяется от ∞ до R. Если положить, чтобы центробежная сила менялась пропорционально расстоянию s от начала кривой, то получим

                                                         (2.5.)

где s и r - текущие значения расстояния от начала переходной кривой и ее радиуса кривизны;

R – радиус кривизны в конце переходной кривой.

Индексом k отмечены значения переменных в конце переходной кривой.

Для радиуса кривизны переходной кривой в текущей точке i найдём:

r = lR/s,                                                                   (2.6.)

где через l обозначена длина переходной кривой Sk.

Кривая, описываемая уравнением (2.6.), в математике называется клотоидой, или радиоидальной спиралью. Угол поворота трассы на переходной кривой. На бесконечно малом отрезке кривой ds (рис. 2.4.) происходит поворот трассы на угол

                                                              (2.7.)

Подставляя выражение радиуса кривизны r из (2.5.), получим

                                                            (2.6.)

Выполним интегрирование от начала кривой НК, где j = 0 и s = 0, до текущей точки i:

                                                      (2.7),

откуда

R_lj = s2/2                                                       (2.8.)

Рис. 2.4. - Схема переходной кривой: а) углы поворота трассы: φ – в текущей точке i, β – в конце переходной кривой (точка КПК); б) приращения координат

Из полученного уравнения вытекают формулы:

;    ;

l = 2Rb,                                                                     (2.9)

где b - угол поворота трассы в конце переходной кривой;

l - длина переходной кривой;

R - радиус кривизны в конце переходной кривой, равный радиусу следующей за нею круговой кривой.

Совместим начало координат с началом переходной кривой и направим ось x по касательной к ней (см. рис. 2.4.). Бесконечно малому приращению дуги кривой соответствуют бесконечно малые приращения координат (рис. 2.4.):

dx = cosj×ds;    dy = sinj×ds.                                        (2.10.)

Разложим синус и косинус в ряд и, удержав в разложениях по два члена, подставим в них выражения для j:

cosj = 1-j2/2 = 1 - s4/(8R2l2);

sinj = j - j3/6 = s2/(2Rl) - s6/(48R3l3).                                  (2.11.)

Подставляя полученные выражения и выполняя интегрирование, найдём:

 ;                                     (2.12.)

                              (2.13.)

 Рис. 2.5. - Смещение начала переходной кривой.

Смещение начала кривой (сдвижка). На рис. 2.5. дуга НК-КПК представляет собой переходную кривую, переходящую после точки КПК в круговую. Продолжим круговую кривую до точки Q, где её направление, параллельно оси x. Обозначим через m смещение, параллельное оси x, начала переходной кривой относительно точки Q, в которой начиналась бы круговая кривая при отсутствии переходной. Через p обозначим смещение в перпендикулярном направлении. Из рис. 2.5. видно:

 (2.14.)

где xКПК и yКПК - координаты конца переходной кривой с аргументом s = l .

Сочетание круговой кривой с переходными. На рис. 2.6. показана кривая, поворачивающая трассу на угол a и состоящая из круговой части с радиусом R и двух переходных кривых одинаковой длины l.

Если бы не было переходных кривых, в образованный прямыми линиями трассы угол была бы вписана дуга окружности радиуса R, равная Q-СК-Q1 и имеющая длину K = Ra.

При наличии переходных кривых на каждой из них происходит поворот трассы на угол b, отчего на долю круговой кривой приходится поворот на угол a-2b. Поэтому суммарная длина кривой равна

Kc = R (a-2b) + 2l = Ra - 2Rb + 2l = K - l + 2l = K + l           (2.15.)

Рис. 2.6. - Сопряжение круговой кривой с переходными кривыми.

Тангенс и биссектриса определяются по формулам:

Тс = T + m + Tp; Бc = Б + Бp                                     (2.16)

где Тp = ptg(a/2); Бp = psec(a/2).

Домер в этом случае равен

                             (2.17.)